Originally Posted by
Vox
Οι κλάδοι που αναφέρεις είναι συναρπαστικοί, κάνουν τη φαντασία να καλπάζει. Αλλά έτσι είναι τα θεωρητικά μαθηματικά, κλάδος καθαρά ακαδημαϊκός, χωρίς, ή με ελάχιστες εφαρμογές, παραέξω. Οι μόνες εφαρμογές που έχω υπόψη είναι στη μαθηματική και θεωρητική φυσική. Δεν ξέρω αν έχεις ασχοληθεί αλλά παραδείγματα είναι η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, η κλασική θεωρία πεδίου (ινώδεις δέσμες, συνδέσεις κλπ.), η κλασική μηχανική (π.χ. οι χώροι φάσης ως συνεφαπτόμενες δέσμες των χώρων μορφής, το κλασικό ανάλογο του spin όπως προκύπτει από τροχιές ομάδων Lie, και διάφορα άλλα) και το πρόγραμμα της γεωμετρικής κβάντωσης. Εσύ όμως μπορείς να καταλάβεις το βαθμό αφαίρεσης και γιατί όλα αυτά δεν μπορούν να «εξαχθούν» σε άλλους τομείς, με εξαίρεση αυτά που προανέφερα.
Φαίνεται λοιπόν ότι έχεις κάποες γνώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας. Π.χ. διαφορίσιμες πολλαπλότητες (αν αποδίδεται έτσι στα ελληνικά το differentiable manifolds), τανυστικά πεδία, διαφορικές μορφές, ομάδες, δράσεις και συμμετρίες και όλα τα συναφή. Ο όρος «γεωμετρική ανάλυση» που αναφέρεις πρέπει να δικαιολογείται από την εκλογή της μετρικής, εδώ Riemann που είναι «θετικά ορισμένη» (positive-definite). Ελπίζω να αποδίδω τους όρους σωστά και να καταλαβείνεις τι εννοώ. Σε αντίθεση π.χ. με την pseudo-Riemannian μετρική που επιτρέπει μηδενικό «μήκος» σε μη μηδενικό διάνυσμα, οπότε η γενίκευση των Ευκλείδειων ιδιοτήτων εκπαραθυρώνεται αυτομάτως.